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Origine des systèmes linéaires et déterminants


Dans les mathématiques occidentales anciennes, il y a peu d'apparitions de systèmes d'équations linéaires. En Orient, cependant, le sujet mérite une attention beaucoup plus grande. Avec leur goût particulier pour les diagrammes, les Chinois représentaient les systèmes linéaires par leurs coefficients écrits avec des barres de bambou sur les carrés d'une planche. Ils ont donc finalement découvert la méthode de résolution d'élimination - qui consiste à annuler les coefficients par des opérations élémentaires. Des exemples de cette procédure se trouvent dans les Neuf chapitres sur l'art des mathématiques, un texte datant probablement du 111ème siècle avant JC.

Mais ce n'est qu'en 1683, dans une œuvre du japonais Seki Kowa, que l'idée de déterminant (en tant que polynôme associé à un carré de nombres) est apparue. Kowa, considéré comme le plus grand mathématicien japonais du XVIIe siècle, est venu à cette notion à travers l'étude des systèmes linéaires, systématisant l'ancienne procédure chinoise (pour deux équations uniquement).

L'utilisation des déterminants en Occident a commencé dix ans plus tard dans un travail de Leibniz, également lié aux systèmes linéaires. En bref, Leibniz a établi la condition de compatibilité d'un système de trois équations à deux inconnues en termes de déterminant d'ordre 3 formé par les coefficients et les termes indépendants (ce déterminant doit être nul). À cette fin, il a même créé une notation avec des index pour les coefficients: ce que nous écririons aujourd'hui, par exemple, comme12, Leibniz indiqué par 12.

La règle bien connue de Cramer pour la résolution de systèmes d'équations inconnues inconnues par des déterminants est en fait une découverte de l'écossais Colin Maclaurin (1698-1746), datant probablement de 1729, bien que publiée à titre posthume en 1748 dans son Traité d'algèbre. . Mais le nom du Suisse Gabriel Cramer (1704-1752) n'apparaît pas dans cet épisode entièrement gratuit. Cramer est également venu à la règle (indépendamment), mais plus tard, dans son introduction à l'analyse des courbes plates (1750), en relation avec le problème de la détermination des coefficients de la conique générale A + By + Cx + Dy2 + Exy + x2 = 0.

Le français Étienne Bézout (1730-1783), auteur de textes mathématiques du succès de son temps, systématise en 1764 le processus d'établissement des signes des termes d'un déterminant. Et c'est à un autre Français, Alexandre Vandermonde (1735-1796), en 1771, d'entreprendre la première approche de la théorie des déterminants indépendante de l'étude des systèmes linéaires - bien qu'il les utilise également pour résoudre ces systèmes. L'important théorème de Laplace, qui permet l'expansion d'un déterminant à travers la plus courte des rangées sélectionnées et leurs compléments algébriques respectifs, a été démontré l'année suivante par Laplace lui-même dans un article qui, à en juger par son titre, n'avait rien à voir avec le sujet. : "Recherche sur le calcul intégral et le système mondial".

Le terme déterminant, dans son sens actuel, est apparu en 1812 dans les travaux de Cauchy sur le sujet. Dans cet article, présenté à l'Académie des sciences, Cauchy a résumé et simplifié ce qui était auparavant connu sur les déterminants, a amélioré la notation (mais l'actuelle avec deux barres verticales flanquant le carré des nombres n'apparaîtra qu'en 1841 avec Arthur Cayley) et fait une démonstration. du théorème de multiplication déterminant - des mois plus tôt, JFM Binet (1786-1856) avait donné la première démonstration de ce théorème, mais Cauchy était supérieur.

En plus de Cauehy, qui a le plus contribué à consolider la théorie des déterminants, il y avait l'Allemand Carl G. J. Jacobi (1804-1851), parfois appelé "le grand algorithme". C'est grâce à lui la manière simple dont cette théorie est présentée aujourd'hui de manière élémentaire. En tant qu'algorithme, Jacobi était un passionné de notation déterminante avec ses potentialités. Ainsi, l'important concept jacobéen d'une fonction, mettant en évidence l'un des points les plus caractéristiques de son œuvre, est un hommage au plus juste.

HYGINO H. DIMANCHE* Soumis par l'utilisateur Jaime Batista

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