L'information

La symétrie dans les choses simples


Il y a encore une question en suspens: pourquoi b n'appartient pas à (a, b)? Nous avions déclaré qu'il s'agissait d'une démonstration (a, b) ≠ {a, b}. De même, on pourrait dire que le n'appartient pas à (a, b). Mais pour voir cela très clairement, il faut écrire: (a, b) = {{le}, {a, b}} puis conclure que les deux le comment b n'appartiennent pas à (a, b). Dans le cas de l'ensemble leCela semble facile à conclure. Si nous allons aux dernières conséquences, nous constatons que ce n'est pas si simple, et nous sommes confrontés au problème de l'existence d'ensembles avec des parenthèses "infinies". Ce "Freak" vient de l'hypothèse que "Un ensemble appartient à lui-même". Donc, raisonner avec l'ensemble le, on arrive bientôt à l'idée d'un ensemble qui lui appartient, et donc à l'idée d'un ensemble aux parenthèses infinies. Mais si on essayait de voir clairement pourquoi b n'appartient pas à (a, b)?

Penser à l'expression (a, b) = {{le}, {a, b}},nous pensons que b doit être égal à {le} ou b doit être égal à {a, b}. Nous semblons avoir des ennuis: comment produire une aberration à partir de ces deux idées? Il ne semble pas y avoir de problème dans l'idée que b = {le}maisl'idée que b = {a, b} nous amène à l'idée que b appartient à b.Autrement dit, la deuxième idée est ce que nous voulons, mais nous devons encore faire face à la possibilité que b = {le}. Que faire?

Jetons un coup d'œil: nous pouvons démontrer qu'une aberration apparaît si nous admettons que le appartient à la paire ordonnée (a, b). Nous aimerions savoir si une aberration apparaît également en raisonnant que b appartient à la paire ordonnée (a, b). Mais la situation ne semble pas être "Symétrique". Maintenant, il serait très étrange de pouvoir démontrer que (a, b) ≠ {a, b} juste penser avec l'ensemble le. Bien que dans la définition de paire ordonnée, il y ait un «Asymétrie» naturel comme vous pouvez facilement le voir dans l'expression qui définit la paire ordonnée. Eh bien, nous ne pouvons pas surprendre ce fait puisque "Paire commandée" signifie simplement que la paire est ordonnée, c'est-à-dire qu'il y a un ordre entre leurs ensembles le et b. Si la paire est ordonnée, il n'y a bien sûr pas de problème si elle contient une asymétrie.

Mais, en termes de démonstration, nous sommes gênés par l'idée que pour démontrer notre thèse nous ne devons nécessairement raisonner qu'avec l'ensemble le. La sortie de cet inconfort réside dans la symétrie d'un concept mathématique. En général, un concept mathématique contient une symétrie intrinsèque, c'est-à-dire en interne, dans sa propre définition. Par exemple, lorsque nous définissons le nombre 1 il n'y a aucun moyen de le faire différemment de 2 en termes de concept. Il serait étrange, et même intolérable, que lors de la définition du nombre 2 des propriétés conceptuelles différentes apparaîtront que celles requises pour le nombre 1. Oui, ce sont des nombres différents, mais les deux sont également des nombres et donc conceptuellement comme des nombres doivent être "Symétrique". Nous reviendrons bientôt sur cette question de la définition des nombres, dès que le développement de notre histoire de la théorie des ensembles le permettra. Nous pourrions déjà les définir, par exemple, zéro est l'ensemble vide, mais nous ne savons toujours pas s'il existe un ensemble, y compris l'ensemble vide.

Il est temps pour nous de résoudre notre puzzle aujourd'hui: pour démontrer que (a, b) ≠ {a, b}en utilisant l'ensemble b, il suffit de considérer la symétrie {a, b} = {b, a}. C'est une symétrie très simple, mais elle résout notre puzzle. Grâce à cette symétrie, nous pouvons raisonner ce qui suit: Pour démontrer que la paire ordonnée est différente de la paire, nous supposons que non. Ensuite, nous avons: {b, a}={{b}, {b, a}}, car nous supposons que la paire ordonnée est égale à l'ensemble pair. Maintenant, répétez simplement avec b le raisonnement que nous utilisons avec l'ensemble le précédemment.

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